Nacido en Madrid en 1945, era el cuarto de los cinco hijos y único varón del director de orquesta Ataulfo Martín de Argenta, fallecido en enero de 1958, y de la pianista Juanita Pallarés. Cursó la carrera de Derecho en la Universidad Complutense de Madrid, gracias a una beca que le concedió la orquesta Suisse Romande.
Además, poseía estudios de grado superior de Música de piano y armonía, realizados en el Real Conservatorio de Madrid, pero los dejó a falta de los dos cursos de composición. Fernando Argenta perteneció en los años sesenta al grupo de rock 'Miky y los Tonys', en que el tocó la guitarra, y, posteriormente, comenzó a dirigir orquestas, en un principio para escolares y a partir de noviembre 1981 para público adulto.
En 1971 entró a formar parte de la plantilla de Radio Nacional de España, donde realizó múltiples programas, entre los que destacan: 'Circuito nocturno', 'Nocturno español', 'Madrugada' y 'Para los jóvenes'. Pero fue con 'Clásicos populares', cuyas emisiones inició el 13 de abril de 1976, con el que consiguió gran relevancia por el lenguaje cercano y ameno que utilizaba para divulgar la música clásica.
Argenta compartió micrófono con Beatriz Pecker, José Manuel Rodríguez 'Rodri' y Araceli González Campa, desde abril de 1984 hasta su prejubilación en febrero de 2008. En noviembre de 1986 fue nombrado director de Radio-3 de Radio Nacional de España, cargo que desempeñó durante dos años.
Y en octubre de 1988 se hizo cargo de la dirección de Radio-1, de la misma emisora, donde solo se mantuvo unos meses y en el que le sustituyó Alicia Fernández, en febrero de 1989. A continuación, regresó a la dirección y presentación de 'Clásicos populares', espacio que tenía registrado. Compatibilizó esta tarea con la dirección de conciertos para niños, y en 1994 con la de asesor musical de la serie de dibujos animados para TVE 'La Banda de Mozart' (1994) y la dirección y presentación 'Zarzuelas en las calles de Madrid'.
En 1996, al cumplirse el vigésimo aniversario de 'Clásicos Populares', RTVE sacó al mercado el primer disco que lleva el nombre del programa, al que le siguieron en años sucesivos otros discos, algunos de los cuales obtuvieron varios discos de platino. Desde el 4 de marzo de 2000, presentaba y dirigía también en La2 de TVE el espacio 'El conciertazo', dirigido a los niños y en el que explicaba el significado de la música clásica con la interpretación de piezas y la puesta en escena de elementos de la danza.
Afectado por un expediente de regulación de empleo en RTVE, en diciembre de 2008 dejó el grupo de comunicación estatal, aunque entonces reconoció que le hubiera gustado continuar al frente de estos espacios (32 años en "Clásicos populares" y 9 en 'El conciertazo'), de los que también realizó sendos libros en 1998 y 2008, respectivamente. Desde el 10 de abril de 2008 era director artístico de la Fundación Magistralia, creada en 2000 para la promoción y la difusión de la música clásica y el jazz, puesto en el que sucedió a Emilio Aragón.
Era miembro del jurado que otorga el Premio Príncipe de Asturias de las Artes desde la edición de 2001. Junto con su amigo y compositor Fernando Arbex, el 15 de julio de 1998 dirigió a la Orquesta Filarmónica de Londres en la grabación del "Belén 2000. Himno de la Vida", encargado por el líder palestino Yaser Arafat para la celebración del año jubilar. El poema sinfónico fue estrenado mundialmente el 1 de julio de 2000 en la localidad segoviana de Pedraza, ocasión en la que Argenta compartió la batuta con Max Bragado al frente de la Sinfónica de Castilla y León y el Orfeón Donostiarra.
En 2010 presentó su libro 'Los clásicos también pecan', en el que acercó la vida privada de 13 grandes genios de la música clásica, y en 2011 'Pequeña historia de la música', con ilustraciones de Jvlivs. Asimismo, consiguió varios premios por 'Clásicos Populares', entre ellos el Ondas de Radio 1980, el Jean Antoine Triumph Varietè de 1978, la Antena de Oro de Radio de 1988, el Ondas Internacional de Radio 1991 y el galardón al mejor Programa Infantil de los Premios de la Academia de la Televisión de 2007.
En diciembre de 2003 el Gobierno le concedió la Medalla de Oro al Mérito en las Bellas Artes. El 22 de agosto de 2013, en una entrevista, reconoció su "frustración" porque el nombre de su padre se iba olvidando, y por la ignorancia que hay sobre la fulgurante carrera de director de orquesta que pudo haber tenido si la muerte no la hubiera truncado.
Lo cuenta la escritora Celia Santos
El 'Plan Marta', el "cruel" programa de Franco y la Iglesia para repoblar Australia con mujeres españolas blancas
En los años 60, cientos de mujeres fueron enviadas a las antípodas con el objetivo de repoblar el país, como cuenta Celia Santos en la novela El país del atardecer dorado.