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APLICACIONES DE LAS PARÁBOLAS COMO OBJETOS GEOMÉTRICOS

¿Por qué parábolas, maestro?

Normalmente, si oímos la palabra parábola en la calle es porque alguien está hablando de fútbol o de cuentos con moralina. Pero la parábola, hablando de matemáticas, es un elemento geométrico fascinante por su sencillez y sus aplicaciones. Por ejemplo, para cocinar sin más energía que la luz del Sol, que tal y como está la electricidad en este país no es ninguna tontería.

¿Cocinamos unas parábolas?

Raquel Garcia Ulldemollins ¿Cocinamos unas parábolas?

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Clara Grima | @claragrima | Sevilla
| 22.09.2014 07:50

Resulta cuanto menos gracioso oír a un comentarista deportivo asombrarse ante un lanzamiento parabólico. Eso lo sé hacer hasta yo, fíjense bien: el movimiento que describe un balón al ser pateado es siempre una curva, que conocemos como parábola, provocado por la acción de la aceleración de la gravedad. Pero, posiblemente, sea en el ámbito futbolístico en el que más escuchemos esta expresión.

Tampoco les ha ido mal de público a aquellos que usaron las parábolas como figuras literarias para convencer al personal de que tus padres te recibirían con los brazos abiertos cuando la reforma laboral te devolviese a su casa.

Pero hoy nos vamos a centrar en otras propiedades y, sobre todo, otras aplicaciones de las parábolas: como objetos geométricos, aquellas a las que Apolonio bautizara.

Pero, como decía Jeffrey Dahmer, vayamos por partes: ¿qué es una parábola?

Para definir un parábola vamos a necesitar un punto y una recta. Si me lo permiten (que no les queda otra porque ahora mismo estoy yo aquí sola escribiendo), voy a tratar de definir la parábola con un ejemplo. El punto representaría un pozo y la recta sería un canal de agua, infinito y rectilíneo. Si en una región ficticia tuviésemos esos dos elementos (el pozo y el canal) y no se dispusiera de agua corriente en las viviendas, la curva que define la mitad del camino entre el pozo y el canal es nuestra parábola y nos permitiría decidir dónde ir a buscar agua.

Es decir, si recuerdan aquello que contamos por aquí sobre Voronoi, la parábola es la línea que divide las regiones de Voronoi del pozo (punto) y el canal (recta). Cualquier punto sobre la parábola está a la misma distancia del pozo que del canal (la distancia desde cualquier casa al canal se mide perpendicularmente a este).

A partir de aquí, al pozo lo llamaremos foco de la parábola (f en la imagen siguiente) y al canal lo llamaremos directriz de la misma. Existe otra línea especial relacionada con nuestra curva, el eje, que no es más que la recta que la divide en dos partes exactamente iguales, de forma que podríamos doblar el papel por el eje y plegar media parábola sobre la otra media.

Parábola 0

Como se intuye en la imagen anterior, cualquier casita situada sobre la parábola está a la misma distancia del canal que del pozo, las casitas que estén dentro de la parábola están más cerca del pozo y las que estén fuera están más cerca del canal. Ea, pues ya sabemos dónde nos pilla más cerca para ir a coger agua.

Pero aparte de la aplicación indudablemente útil que acabamos de describir, la propiedad más interesante de nuestra curva es que refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. De la misma forma, un emisor situado en el foco enviará un haz de rayos paralelos al eje.

Parábola 1

Y es esto lo que la hace muy útil para el diseño de antenas y cocinas solares. Bueno, en realidad no usamos una parábola, sino un paraboloide que es el sólido que se obtiene al girar la parábola alrededor de su eje.

Parabloide

 

Pues ya está, ahí está el truco. Construimos un paraboloide con material reflector (espejos) y colocamos en el foco del mismo nuestra cacerola, teniendo en cuenta que los rayos del sol inciden paralelamente en el paraboloide y se reflejan todos en el foco. Solo tienen que pensar qué quieren preparar para comer.

 

Concentrador solar

Es la misma idea que se usa en las centrales captadoras de energía solar, antenas parabólicas, receptores telescópicos y radares.

La idea contraria, la de que un emisor situado en el foco emite haces de rayos paralelos se usa, por ejemplo, en los faros de los coches. En este caso, en el foco del paraboloide se coloca la lámpara que emitirá esos rayos de luz que alumbrarán nuestro camino, por muy oscuras que sean las sendas. Ay, qué bonito...

Lo dejamos hoy por aquí. Ya ven, las parábolas sirven para algo más que para meter goles o para recordarte que no debes negar auxilio a alguien que ha sido atracado.

 

***

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

 

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