Teorema de Pick: cómo medir áreas de polígonos fácilmente

Seguro que recuerdan aquellas fórmulas que le enseñaron en el colegio para calcular áreas de figuras planas, ¿no? El área de un cuadrado es igual a longitud del lado al cuadrado, la del rectángulo igual al producto de la longitud de la base por la de la altura, la del triángulo había, además, que dividirla entre dos, la del círculo era el producto de π por su radio al cuadrado…

Se acuerdan, ¿verdad? Bueno, y si no se acuerdan tampoco es tan terrible porque hoy les propongo un método que les permitirá calcular áreas de polígonos (no círculos, lo siento). Básicamente, contando puntitos. Para ello sólo vamos a necesitar papel cuadriculado y lápiz.

Aceptamos que cada cuadradito tiene área 1. A los cruces entre las líneas horizontales y verticales de la cuadrícula los llamamos nodos.

Ahora vamos a pintar un polígono sobre el papel cuadriculado siguiendo las siguientes dos reglas:

a) Los vértices del polígono deben estar situados sobre nodos de la cuadrícula. El polígono de la figura no es válido, por ejemplo.

b) Debe ser un polígono simple, es decir, que los lados del polígono no se crucen entre ellos, como por ejemplo en la siguiente figura que representa a un polígono no simple.

Así, podemos dibujar un polígono como el siguiente, por ejemplo:

Pues bien, ¿cuál es el área del polígono de la figura anterior?

Evidentemente, tenéis la opción de dividir el polígono en otros más simples, triángulos y cuadriláteros, usar las fórmulas correspondientes para calcular sus áreas y responder a la pregunta planteada...

O bien, usar la Fórmula de Pick, que es bastante más rápido.

¿Que cuál es la fórmula de Pick? El Teorema de Pick (1899) establece que si tenemos un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras, es decir, cuyos vértices están sobre los nodos de la cuadrícula y llamamos 'B' al número de nodos sobre la frontera del polígono e 'I' al número de nodos de la cuadrícula en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:

Efectivamente, vamos a probar que esta fórmula funciona con polígonos sencillos para los que sabemos calcular sin dificultad el área.

En la siguiente figura tenemos un rectángulo de base 4 y altura 6. Os recuerdo que cada cuadradito de nuestra malla tiene área 1, por lo tanto sería un rectángulo de área 24. El triángulo central tiene una base de longitud 8 y una altura de 6 -su área es de 24 también-. Por último, el cuadrado de la derecha tiene un lado de longitud 3, lo que nos da un área de 9.

Vamos a calcular sus áreas según la fórmula de Pick. Para ello hemos señalado en rojo los nodos de la frontera, los que nos dan el valor de B, y en verde los nodos interiores al polígono, que nos darán el valor de I y… ¡tachán!

En realidad, no hacía falta esta comprobación puesto que el Teorema de Pick está rigurosamente demostrado y publicado en su trabajo 'Geometrisches zur Zahlenlehre', publicado en Praga en 1899. Lamentablemente, este trabajo de Pick pasó sin pena ni gloria y fue Hugo Steinhaus (al que, por cierto, le dirigió la tesis doctoral nada más y nada menos que Hilbert) el que lo dio a conocer, ya en 1969.

George Pick nació en Viena en 1859, en el seno de una familia judía, lo que sin duda le allanó el camino para poder morir en el campo de concentración de Theresienstadt, unos 60 kilómetros al norte de Praga. Aunque posiblemente lo más conocido de los trabajos de Pick sea la fórmula presentada, llegó a publicar 67 artículos que abarcaban temas tan diversos como el álgebra lineal, el análisis funcional, el cálculo integral o la geometría, aunque su atención se centraba principalmente en funciones de variable compleja, ecuaciones diferenciales y geometría diferencial.

Además de lo anterior, a Pick le corresponde el honor de haber introducido al mismísimo Albert Einstein en los trabajos de Cálculo Tensorial de Ricci y Levi-Civita, que sirvieron más tarde a don Albert, en 1915, para formular su teoría de la relatividad general. El propio Einstein escribía en una carta a Levi-Civita “Admiro la elegancia de su método de cálculo, debe ser agradable pasear a través de estos campos a lomos del caballo de las matemáticas reales mientras nosotros tenemos que hacer nuestro camino trabajosamente a pie”

Sí, pueden llorar de emoción, yo también lloré la primera vez que lo leí.

Pero, vamos, al lío: ¿qué área tiene el polígono grandote que os presenté? Venga, va, os echo una mano por si no os pinta el boli, os coloreo los puntitos