Mind the map: la lógica matemática de los mapas del metro

A menudo, y desde el cariño, los matemáticos hacemos chistes sobre los ingenieros. Bueno, y sobre los físicos, los químicos, los biólogos... Somos así, no hay maldad. Sin embargo, hay que reconocer la infinidad de logros conseguidos por estos, los ingenieros y, entre todos ellos, hay uno que me resulta especialmente curioso: el diseño del plano del metro de Londres de Harry Beck, un desconocido ingeniero inglés que consiguió revolucionar parte de los conceptos de diseño en el siglo XX.

Efectivamente, los primeros planos del metro de Londres eran mapas geográficos, es decir, sobre un plano real de la ciudad de dibujaban las distintas líneas de metro con su recorrido real aproximado y las estaciones ubicadas según dicho plano.

Pero si lo piensan, y así lo intuyó Beck alrededor de 1931, el usuario de metro no necesita saber qué recorrido hace el metro para llegar de una estación a otra, sino simplemente, conocer la posición relativa de las estaciones (en qué orden se encuentran en la correspondiente línea) y los cruces de estas en estaciones para poder hacer trasbordos. Dicho en un lenguaje un poco más formal, el usuario lo que necesita es un plano topológico del metro. Así, prescindiendo del recorrido real de las líneas, el plano se puede dibujar usando pocas direcciones y sería más claro y fácil de usar por el viajero: no hace falta que muestre las curvas en el recorrido de una parte a otra de la ciudad.

Desde el punto de vista matemático, se puede entender que un plano de metro es un grafo (hemos hablado en esta casa varias veces de ellos, por ejemplo aquí) en el que las estaciones son los vértices y las líneas entre distintas estaciones son las aristas. Un grafo representa únicamente la relación entre los vértices, si esta existe. En el ejemplo que contamos aquí para organizar una boda, la relación (y por lo tanto la existencia de una arista) entre dos vértices del grafo (invitados de la boda en aquel ejemplo) era de incompatibilidad para compartir mesa en el banquete. En el caso del metro, dos vértices (estaciones) estarán unidas (por una arista) si hay una línea de metro que nos lleve de una a la otra.

Pues bien, se trataba de dibujar el plano del metro de Londres como eso, como un grafo y lo más claro posible. Pero, ¿cómo? Porque un mismo grafo se puede dibujar de distintas formas y, depende de la aplicación que le queramos dar, unas son mejores que otras. De hecho, hay todo un área de investigación dedicada a la optimización de dibujos de grafos, Graph Drawing, que aborda problemas muy, muy complicados y con muchas aplicaciones. Pero por poner un ejemplo sencillo, vamos a fijarnos en la siguiente ilustración en la que aparecen 4 grafos: I_₁, I_₂, I_₃, I_₄.

Sobre los dibujos podemos decir que el grafo I_₁ es hamiltoniano, o lo que es lo mismo, hay un camino que pasa por todos los vértices y vuelve al de origen, sin repetir vértices (muy conveniente para el diseño de rutas de mensajeros, carteros, camiones de basuras). Del grafo I_₂ se ve enseguida que es regular, es decir, que de todos los vértices sale el mismo número de aristas. Si nos fijamos en I_₃, podemos saber que es plano, esto es, que se puede dibujar sin cruces entre las aristas (propiedad muy interesante en el diseño de circuitos). Y por último, del dibujo del grafo I_₄ podemos inferir que se pueden colorear sus vértices con solo dis colores (lo que nos viene muy bien en el ejemplo de la boda mencionado anteriormente porque nos ahorraría disgustos con solo dos mesas).

Ajá, ya lo han notado, ¿no? Sí, los cuatro grafos son el mismo dibujado de diferentes maneras y, dependiendo del dibujo elegido, algunas propiedades destacan más que otras. Espero haberles convencido con esto de la importancia del dibujo del grafo en función de la aplicación que le vayamos a dar.

Volvamos al dibujo del grafo asociado al plano del metro de Londres.

A nuestro amigo Harry Beck se le ocurrió por aquel entonces (1931), como hemos dicho, que más que un diseño geográfico, lo que resultaría útil sería un diseño topológico, con menos curvas y direcciones en las líneas, y, de broma, hizo su primer diseño basado en los utilizados en circuitos eléctricos. Aún un poco reticentes, lanzaron la idea de Beck entre los usuarios y fue aceptada con entusiasmo por los pasajeros del metro.

Poco a poco, tras la gran aceptación de su primer plano, fue introduciendo cambios para mejorarlos. Así, en 1936, por ejemplo, eliminó curvas y sólo permitió ángulos de 45º y 90º.

Se ve que, como se suele decir, se vinieron arriba y en 1940, le pidieron, entre otras cosas, que introdujera ángulos de 60º, pero esa idea se desechó más tarde porque liaba más que otra cosa.

Y así fue como Beck revolucionó, gracias a su formación como ingeniero electrónico el diseño de los planos de metro. Diseño que se impuso y se sigue usando en la actualidad.

Se puede consultar aquí la evolución de los mapas de del metro de Londres y observar qué tipo de modificaciones iban apareciendo siempre para mejorar la usabilidad de los mismos, hasta llegar a la versión actual en la que, como no puede ser de otra manera, se referencia a Harry Beck como creador del diseño.

Diseño que habida cuenta de la cantidad de merchandising que ha generado (camisetas, tazas...) debe haber sido uno de los más rentables del siglo pasado, supongo.

Bueno, si quieren otro día hablamos de otro problema matemático asociado al diseño de mapas y planos, el de poner etiquetas. Porque, claro, tienen que ser legibles, estar en el sitio correcto, no solaparse... Lo dicho, otro día hablamos de ello. Esta es mi parada.