Principios básicos de encriptación para entender cómo Snowden se la jugó a la Casa Blanca

Es de suponer que cada profesión o trabajo que uno desempeña en su vida adulta entraña, irremediablemente, algunas inconveniencias menores, que no por nimias dejan de ser, en ocasiones agotadoras, o 'hartibles' (leído 'jartibles') como se dice por el sur.

En mi caso, y en el de la mayoría de los matemáticos, supongo, una de estas pequeñas y cansinas inconveniencias es tener que responder continuamente a la pregunta “¿Para qué sirven las Matemáticas?” (a veces, entre 'qué' y 'sirven' insertan alguna interjección vulgar). O bien, por poner otro ejemplo, a la de “¿Qué os pasa con los primos que os gustan tanto?”, refiriéndose esta última no a los parientes hijos de tus tíos ni a personas incautas fáciles de engañar, sino a una clase de números. Y sí, esta segunda cuestión suele además ir acompañada con una afirmación final, lejana de ser asentación, sobre el grado de 'frikismo' de los que nos dedicamos a este noble arte de las Matemáticas.

Pues bien, quiere el azar que la actualidad, Snowden, la NSA y sus intrigas vengan en nuestra ayuda y nos ayuden a dar respuesta, con ejemplos de las portadas de los periódicos a estas cuestiones: para qué sirven y por qué nos fascinan las Matemáticas, en general, y los números primos, en particular. Ya que ambos están en la base de la criptografía encargada del cifrado de mensajes.

Cuando se habla de números primos nos referimos a aquellos números naturales (los que sirven para contar), mayores que 1, que solo son divisibles por ellos mismos y por 1. Como por ejemplo, el 2 y el 3, pero no el 4, que es divisible (no nos salen decimales en el cociente) por 2.

Es indudable la fascinación que estos han supuesto para los matemáticos a lo largo de la historia. Desde la antigua Grecia en la que Euclides ya descubrió la belleza de los mismos y demostró que había un número infinito de ellos, hasta este mismo año en que ha sido noticia la demostración de la conjetura débil de Goldbach, que asegura que cualquier número impar, mayor que 5, se puede expresar como la suma de 3 primos. Por ejemplo, 15=3+5+7.

Sí, esta conjetura, aparte de la trascendencia en la Teoría de Números, es útil para entretenerse un rato tratando de descomponer impares en suma de primos, o para entretener a otros. En este sentido, también resulta entretenido usar la criba de Erastótenes para calcular los números primos menor que uno dado. Entretenido y gratis, oigan, que está la cosa 'mu' mala...

Muy bien, muy bonito, podría decir alguien, pero, ¿para qué sirven los primos?

Como ya se ha dicho, entre otras cosas, por ejemplo, para técnicas de cifrado de mensajes, criptografía, con el objetivo de proteger la información enviada por correo electrónico. Ya ven...

De hecho, en las portadas de nuestros diarios hemos podido ver, aparte de los escándalos de presunta corrupción de nuestro país, el caso de Edward Snowden. El señor Snowden usaba una cuenta de correos, edsnowden@lavabit.com, del servicio de correos Lavabit.com, creado en 2004, como alternativa más segura a Gmail en el cifrado de mensajes. Cuenta que usaba para convocar a activistas y abogados desde Moscú...

Ahora vienen los primos. Entre los mecanismos de cifrado usados por Lavabit para asegurar la privacidad de sus mensajes, estaba el de la criptografía asimétrica en la que los primos tienen mucho que decir. Y lo hacían bien, ¿eh?. Tanto que ni las agencias de seguridad han conseguido descifrar los mensajes y, claro, el Gobierno de los Estados Unidos ha obligado a cerrar a este servicio de correo seguro. Lo normal...

Sin entrar mucho en detalle y a grandes rasgos, la gracia de la criptografía asimétrica radica en el hecho de que hay pares de operaciones matemáticas tal que una es la opuesta de la otra y que una es muy sencilla y la otra es muy complicada.

Por ejemplo: multiplicar dos número primos es una operación muy sencilla, sin embargo, si nos dan un número del cual sabemos que es el producto de dos primos, descomponer ("factorizar" en lenguaje matemático) dicho número para encontrar los dos primos que están escondidos en él es una operación muy complicada. Entendiendo por complicada que requiere mucho tiempo de cálculo con los ordenadores más potentes que existen.

Si tenemos 999809 y 404081, ambos primos, es muy fácil obtener el producto de ambos. Pero si lo que nos dan es el 404003820529 y, para descifrar la clave, necesitamos descomponer este número en producto de 2 primos, tendríamos, en principio, aunque hay métodos más sofisticados, que probar con todos los primos hasta encontrar el primero de los números que lo divide (en este caso 404081).

Aunque un ordenador comprueba de forma rápida si un primo divide a un número dado, tendríamos que probar con tantos primos que, a la fuerza, se prolonga mucho. Claro está que en la práctica se aconseja escoger primos muy grandes, para que su producto sea un número muy, muy grande (para que sea seguro se aconseja que este producto tenga más de 600 dígitos y no 11 como el ejemplo que hemos puesto) y así sea más difícil de factorizar.

Algo como esto:

2519590847565789349402718324004839857142928212620403202777713783604366202070 7595556264018525880784406918290641249515082189298559149176184502808489120072 8449926873928072877767359714183472702618963750149718246911650776133798590957 0009733045974880842840179742910064245869181719511874612151517265463228221686 9987549182422433637259085141865462043576798423387184774447920739934236584823 8242811981638150106748104516603773060562016196762561338441436038339044149526 3443219011465754445417842402092461651572335077870774981712577246796292638635 6373289912154831438167899885040445364023527381951378636564391212010397122822 120720357

Chispa más o menos, claro.

Digamos entonces que en la criptografía asimétrica podemos mandarle a alguien un mensaje conociendo el valor del producto de dos primos que él ha escogido, pero para descifrarlo tendríamos que conocer cuáles son esos dos primos, cosa extraordinariamente complicada.

Espero que a estas alturas les haya convencido de que las Matemáticas y los primos sirven para algo. Igual no le habría venido mal al señor Rajoy saber algo de cifrado de mensajes en sus comunicaciones, vía SMS, con su examigo y extesorero. Pero se ve que en este país sabemos poco de criptografía o, quizás, tenemos demasiados primos...