Cómo usar la menor superficie de papel para envolver regalos de San Valentín

Alrededor de estas fechas es habitual encontrar en muchos medios artículos tratando de relacionar el amor con cualquier cosa o cualquier cosa con el amor (se ve que sigue siendo cierto aquello de que es el amor lo que mueve el mundo) y yo no quería quedarme fuera. Ea, así soy yo.

Aunque haberlos haylos que dicen haber encontrado una fórmula para predecir la duración de un idilio, no estoy muy segura, francamente, de que esto sea muy riguroso desde el punto de vista matemático.

Así que, en lugar de usar números o ecuaciones para tratar de cuantificar lo que amamos o nos aman, les voy a proponer un reto geométrico que tiene que ver no con el amor, sino con el tamaño del regalo. Pero aunque el antetítulo de esta entrada (y la ilustración) hablan de envolver corazones, vamos a quedarnos en un caso más simple y vamos a envolver cajas cúbicas de regalos. Esto es, el regalo que tenemos que envolver es un cubo, vamos, un hexaedro regular, un poliedro con seis caras cuadradas.

Supongamos  que nuestro regalo es un cubo cuyo lado mide un metro (sí, es un regalito importante, nada de sortijas) y que lo vamos a envolver usando un rectángulo de papel decorado. Eso sí, no podemos cortar el papel en ningún momento. No tenemos tijeras y con las manos quedaría muy cutre. La pregunta es: ¿cuál es el área mínima de un rectángulo de papel que envuelve dicho cubo? Recuerden, sin dar ningún corte al papel.

Vamos a ir pensando un poco. Si el lado del cubo mide un metro de longitud, el área de las seis caras que tenemos que cubrir es de seis metros cuadrados. Por lo tanto, necesitamos, al menos, un rectángulo de área seis para envolverlo. Pero un rectángulo de área seis no lo envuelve sin cortarlo, nunca. Entre otras cosas, porque para ello necesitaríamos que un desarrollo plano del cubo fuese, exactamente, ese rectángulo de área seis. Y eso es imposible.

Necesitamos, entonces, un rectángulo de más de seis metros cuadrados de papel.

Por otra parte, un desarrollo de un cubo de un metro de longitud de lado cabe en un rectángulo de 12 metros cuadrados. Bueno, pues si el desarrollo del cubo cabe en un rectángulo, basta con volver a montar el cubo y arrastramos el rectángulo de papel con él.

Ea, pues ya sabemos que ese área mínima buscada está entre 6 y 12. Algo es algo, ¿no?

¿Cuánto vale ese área mínima para envolver nuestro regalo cúbico? No existe. No, no me miren así que es verdad, no existe ese área mínima. Que sí, que es verdad. Que si me dan cualquier rectángulo de papel cuyo área esté entre 6  y 12 metros cuadrados y que sirva para envolver el cubo, yo soy capaz de encontrar un rectángulo de menor área que envuelve el regalo ¿Cómo? Se lo cuento.

Nos fijamos en el desarrollo del cubo de la imagen anterior. Como ya hemos dicho, es evidente que si somos capaces de cubrir completamente dicho desarrollo con nuestro rectángulo, volviendo a montar el cubo, arrastraría dicho cubrimiento y tendríamos envuelto el regalo.

Lo que vamos a usar es un rectángulo muy, muy largo y muy fino, como una serpentina y vamos a cubrir el desarrollo del cubo como se ve en las figuras siguientes:

Primeros pasos para cubrir el desarrollo del cubo con una serpentina.

Nuestro regalo cubierto por la serpentina

¿Cuál es el área de este rectángulo-serpentina? Depende del ancho de la serpentina, como alguno ha gritado desde el fondo, sí. Si llamamos W al ancho de ésta, no es difícil comprobar que el área que hemos usado en este cubrimiento del cubo es 6+ (6xW).

El primer sumando, 6, es el área de las caras del cubo cubiertas ¿De dónde sale este 6xW? Del área que sobresale del desarrollo del cubo, que es donde hemos girado nuestra serpentina para seguir cubriendo el regalo. Sobresale en 6 lados de 1 metro de longitud, como se ve en la figura, y como esos triangulitos que vemos son dobles, la serpentina está doblada sobre sí misma. En cada uno de esos 6 lados, sobresale un rectángulo de área 1 (longitud del lado) x W (anchura de la serpentina).

Quiere esto decir que, cuanto más estrecha sea la serpentina, menor será el área que necesitamos para envolver el cubo. Como no podemos escoger una serpentina de anchura 0, por muy pequeña que sea el área del rectángulo de papel que escojamos para envolver el regalo, siempre es posible escoger un papel más pequeño; porque por muy, muy pequeño que escojamos un número positivo, siempre es posible encontrar un número postivo más pequeño. Maravilloso, ¿no creen?

Déjenme que les cuente que este problema me lo contó mi amigo Jin Akiyama, uno de los divulgadores de matemáticas más famosos del mundo y una de las personas más famosas de Japón, que siempre me enseña cosas fascinantes

Nos vemos la semana que viene. Amen mucho y a muchos, independientemente de las fechas.