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PRIMERA RESPUESTA A UNA PARADOJA DE LA POSGUERRA

Resuelto el problema que intrigó a físicos y matemáticos durante 60 años

Decía nuestro malagueño más ilustre, don Pablo Picasso, que la inspiración existe pero tiene que pillarte trabajando. O no. A veces, puedes encontrar la inspiración mirando algo que se calienta y preguntándote cómo se reparte la energía en un sólido hasta llegar a un equilibrio térmico. No sé si esta fue la inspiración de Fermi, Pasta y Ulam para llegar a la paradoja que lleva su nombre y que desde hace 60 años ha traído de cabeza a físicos y a matemáticos. Traemos buenas noticias para ellos.

Nuevos avances en un problema matemático de hace 60 años

Ilustración de Raquel Garcia Ulldemollins Nuevos avances en un problema matemático de hace 60 años

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Hace unos días un grupo de investigadores de Inglaterra, Italia y EEUU ha publicado un trabajo con importantes avances en el mal llamado (en mi opinión y la de parte de la comunidad matemática) problema de Fermi-Pasta-Ulam, o problema FPU, como pueden encontrar en la literatura sobre el tema. Aunque los avances en dicho problema, publicados por Onorato, Vozella, Proment y Lvov, son fascinantes y hacen un bello uso de las matemáticas diseñadas, igual no están al alcance de todos.

Es por eso por lo que hoy solo voy a tratar de explicar un poco cuál es el problema FPU, empezando por aclarar lo de que, en mi opinión, está mal puesto el nombre.

¿Por qué no debería llamarse el problema de Fermi, Pasta y Ulam? Pues porque parece ser que en el desarrollo del programa que dio lugar a este importante problema (que era uno de los primeros programas de simulación numérica de la historia para tratar de estudiar cómo se reparte la energía en un sólido) tuvo un papel importante otra persona: la matemática Mary Tsingou. De hecho, en la primera página del artículo publicado en 1955 aparece lo siguiente:

”Report written by Fermi, Pasta and Ulam. Work done by Fermi, Pasta, Ulam and Tsingou”.

Efectivamente, Mary Tsingou (Mary T. Menzel tras su matrimonio) fue una colaboradora esencial en la codificación del programa de simulación que estuvieron usando. Pero su nombre no aparece en el artículo y no se entiende muy bien por qué. Así que nosotros (como ya hace parte de la comunidad físico-matemática tras este artículo de Dauxois) vamos a llamarlo el problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou. O FPUT, para abreviar.

Mary Tsingou en 1955 y 2007

Hecha esta reivindicación del trabajo de Mary Tsingou vamos a ver de qué va el problema FPUT.

Cuando una tiene un sólido entre manos se puede entretener en calentarlo por una esquina, ponerle hielo en su mitad, frotar una de sus aristas... lo que se le ocurra, que hay gente para todo. Si cesamos de estas actividades lo que una espera (y la experiencia nos confirma que pasará) es que el sólido al final adquiere la misma temperatura en todos sus puntos, ¿no? Los físicos dirían que el sistema ha repartido (equipartición) su energía y ha termalizado. Ellos son así.

Bien, si además le damos a unos señores físicos y a una matemática un ordenador, querrán hacer una simulación del fenómeno físico.

Era 1950 y gracias a los progresos realizados en la II Guerra Mundial -sobre todo en el campo del criptoanálisis-, empiezan a fabricarse los primeros ordenadores propiamente dichos.

En esa época, varios investigadores de gran renombre (Enrico Fermi, premio Nobel de Física, John Pasta, uno de los pioneros en Ciencia de la Computación y también físico, Mary Tsingou, física y matemática americana muy reconocida en física computacional, y Stanislaw Ulam, uno de los matemáticos más destacados del siglo XX) decidieron llevar a cabo una de las primera simulaciones por ordenador de la historia.

Antes de esto, otros muchos habían realizado experimentos numéricos para intentar conseguir simulaciones tanto de problemas físicos como matemáticos, incluso el propio Turing propuso y llevó a cabo varias de esas simulaciones.

Seguimos. El sistema que Fermi y sus colegas trataron de reproducir en un ordenador era relativamente simple: imaginemos una serie de bolas unidas por muelles hasta formar una especie de cadena, naturalmente cada uno de los muelles tratan de conservar una cierta posición de equilibrio y con dicho modelo trataban de simular cómo el calor se conduce a través de los sólidos.

Es decir, decidieron hacer una simulación del proceso de termalización de un sólido en condiciones arbitrarias, como decíamos al principio: calentando por un lado, poniendo hielo en otro... Es una ley no escrita en física y matemática que el que llega primero resuelve la versión fácil del problema y eso hicieron nuestros amigos: dijeron que el sólido sería representado por ese conjunto de bolas unidas por muelles.

Algo así es un sólido: los núcleos atómicos están en los vértices (que serían las bolitas) de una red denominada cristalina y los enlaces entre ellos se pueden considerar como muelles. Por lo tanto, programaron esa cadena de bolas y muelles y estiraron de aquí y de allá, eligieron unas condiciones iniciales y le dijeron a MANIAC, su ordenador, cómo tenía que evolucionar el sistema.

Lo que los diseñadores del experimento trataban de probar es que, al cabo de cierto tiempo, el sistema se termalizaría (repartiendo la energía de forma uniforme a lo largo de él), pero eso no fue lo que ocurrió. De hecho, lo descubrieron por accidente.

Cuando hacían un número no demasiado alto de simulaciones, el sistema parecía llegar a un cierta termalización, a un cierto reparto uniforme de energía. Pero un día se olvidaron de apagarlo y el ordenador continuó la simulación. Cuando se dieron cuenta y volvieron para apagarlo, comprobaron que, tras un período más largo de tiempo, el sistema no solo no estaba termalizado (uniforme) sino que estaba casi como al principio, era casi periódico.

Chulísimo, ¿no?

Curiosamente, si hubieran realizado su experimento algunos años más tarde, cuando la teoría del caos ya fue desarrollada, lo lógico es que hubieran esperado es que el sistema presentara un comportamiento totalmente caótico e impredecible.

Pero el sistema ni se estabilizó en el experimento ni presentó un comportamiento totalmente caótico, sino que las condiciones iniciales se repetían al cabo de cierto tiempo (presentando por tanto un comportamiento predecible), pero con ligerísimas variaciones : era casi periódico.

Esto se ha conocido desde entonces, 1955, como problema o paradoja de FPUT. Desde ese momento se ha intentado explicar cómo estos sistemas, que representan sólidos reales, pueden termalizar, porque sabemos que lo hacen.

La respuesta no ha sido fácil de obtener y aún se sigue trabajando en ello, sin embargo, el camino ha sido apasionante porque como regalos hemos ido teniendo que construir teorías que ahora son campos completos de investigación por sí mismas, por ejemplo la teoría del caos o la teoría de solitones (ondas que se propagan por un medio sin dispersarse y que resultan muy interesantes en muchos campos, como el de las telecomunicaciones).

¿Qué han hecho en el trabajo que se acaba de publicar? Usando las matemáticas diseñadas para explicar las estelas que un barco deja en el mar y su forma de propagarse, han llegado a la conclusión de que es cierto que el comportamiento es cuasiperiódico pero no para siempre: si uno espera un largo tiempo (determinado por las características del sistema en cuestión) la energía empieza a repartirse por todo el sistema llegando a la termalización del mismo.

Fascinante. Ya tienen algo más en qué pensar mientras miran a través del cristal de su horno.

PS: Quiero agradecer a @HdAnchiano que me avisara de la publicación del trabajo de Onorato et al.

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