Nuevo método para entender una propiedad de grupos matemáticos definida hace 50 años

En matemáticas, un grupo es una de las estructuras algebraicas más sencillas. Se trata de un conjunto con una operación que cumple una serie de propiedades. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros con la suma de números.

Además de las propiedades básicas, hay grupos que cumplen otras extra, que los otorgan características especiales. Una de ellas es la propiedad (T), que introdujo en la segunda mitad de los años 60 el matemático israelí David Kazhdan para demostrar un resultado muy importante de grupos fundamentales. Más tarde se descubrieron diversas aplicaciones matemáticas y en ciencias de la computación.

Ahora, un grupo internacional de investigadores, entre los que se encuentra Andrei Jaikin-Zapirain del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), ha dado con un nuevo método para demostrar la propiedad (T) en grupos discretos. El resultado se ha publicado esta semana en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS).

“Nuestro método permite demostrar propiedad (T) para muchos nuevos ejemplos, que hasta ahora eran inalcanzables”, señala Jaikin-Zapirain. En general, el trabajo contribuye a una mejor compresión de los grupos. “Es muy de esperar que los nuevos grupos con esta propiedad que aparecen en nuestro artículo puedan servir de base para contestar algunas preguntas abiertas sobre álgebras de operadores”, asegura el investigador.

Aplicación a redes y grafos

La propiedad (T) aparece en el estudio de los grafos que sirven para optimizar redes. Al diseñar una red con muchos nodos, como las de los ordenadores o  las carreteras, interesa usar el mínimo número de conexiones, pero de manera que la red sea robusta, es decir, que si algunos enlaces se rompiesen, solo pocos nodos quedasen desconectados.

Esta situación puede traducirse a un grafo, y la solución óptima de este problema la dan los denominados grafos-expander (poco densos pero muy bien conectados, con pocas aristas). “La primera construcción explícita de grafos-expander usaba grupos que satisfacen la propiedad (T)”, comenta Jaikin-Zapirain.

Referencia bibliográfica:

Ershov, M., Jaikin-Zapirain, A., Kassabov, M. & Zhang, Z. "Groups graded by root systems and property (T)". Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), noviembre de 2014.